Etude avancée de la roue Sagebien

Nous reprenons l'étude de la roue en analysant bien plus en détail son mécanisme de fonctionnement
Comme je l'ai fait pour d'autres roues l'exposé sera accompagné d'un exemple numérique au pas à pas

Données numériques de l'exemple

Hauteur de chute 1.2 m

Débit possible 1000 l/s
La largeur de la roues est supposée  de 1.10  m
Diamètre de la roue : nous prenons 6  fois la hauteur soit 7.20 m
Il faut en effet que l' axe de la roue soit au dessus du niveau amont et la hauteur des aubes doit être prise en conséquence : la somme de cette hauteur + la hauteur de chute doit être < au rayon
Nous prenons un rapport de 0.5 pour le rapport Dintérieur  / D
Les rayons externes et internes sont ainsi respectivement 3.6 et 1.8 m
Ceci nous conduit à des aubes de 1.26  m de longueur selon une direction voisine du rayon 

L'axe de la roue est à (3.6-(1.2 +1.8)) = 0.6 m  au dessus du niveau amont valeur un peu faible

Les dimensions ci dessus résultent de données empiriques , du fait de l'expérience et des contraintes déjà exposées .

Ceci ne nous empêchera pas d'analyser l' objet ainsi en voie de constitution
Nous observons au passage qu'une chute assez moyenne conduit déjà à une taille de roue respectable.




L'image ci dessus est une vue d'une roue simple , aubes peu nombreuses ce qui est utile pour la démonstration qui va suivre
Nous distinguons dans cette roue quitte à répéter ce qui a été dit ailleurs
Un coursier en maçonnerie qui va approximativement e F à I
Un prolongement du coursier  par un col de cygne de C à F
Une vanne plongeante figurée sans aucun mécanisme qui sur la figure est en position telle que l'eau ne peut entrer que par la zone AC
L'intervalle entre les lignes de coursier et la roue sont aussi faibles que possible
Les roues  très perfectionnées avaient  une vanne plongeante circulaire
La roue n'est pas foncée donc l'eau pourrait passer à l'intérieur "par dessus" les aubes
Elle n'est pas toujours munie de joues latérales , cependant elle sont utiles pour diminuer les fuites latérales ; sinon ce sont les bajoyers du canal qui assurent au mieux l'étanchéité

Nous distinguerons 3 parties dans le fonctionnement de cette roue

1 Partie amont

L'eau doit arriver à une vitesse V faible , de l'ordre 1 m/s
Elle va entrer dans la roue  grâce à sa vitesse relative
Contrairement à des idées répandues il n'y pas d'énergie de choc (comme dans la roue de coté)
en fait  l'énergie correspondant à la vitesses relative est perdue
Considérons  le triangle des vitesses vitesses




V : Vitesse amont
Ve : Vitesse périphérique
Vr : Vitesse relative

les  aubes sont inclinées , formant un angle f avec leur rayon natif
Cet angle f dépendra lui même de la hauteur de l'axe de la roue sur l'eau amont ; il faut que l'aube ne tombe pas "à plat" mais avec un angle un plus grand que f  et qui tient compte des triangles des vitesses. Je ne rentrerai pas dans cette étude d'ailleurs largement développée pour d'autres roues

Il faut se fixer  une valeur m  pour  le rapport  Ve/V et Ve   étant liée à la vitesses souhaitée pour la roue
donc 2 paramètres supplémentaires

un premier résultat du calcul est :
Alpha = Arcsinus((f * p / 180) / m)   en radians
Le triangle est complètement déterminé

2 Partie centrale
La pale qui arrive en haut du coursier " ferme la porte"

Les pales emprisonnent alors un volume d'eau qui ne varie plus mais la hauteur varie selon la position ; c'est la différence de hauteur entre le niveau d'eau entre les 2 faces d'une même pale qui crée la force agissante et le couple moteur
Au total le couple est pratiquement le même que celui que recevrait une seule pale soumise à la différence de hauteur H

On peut aussi raisonner en considérant la perte progressive de hauteur
Ce mode de raisonnement nous rapproche de la roue à augets
De C à I ,  la hauteur perdue est exactement H
C'est cette hauteur qui évaluée en énergie par kg d'eau donne la puissance et le rendement apparaît comme égal à 1 , mais il faut tenir compte de fuites et des frottements

3 Partie aval
 L'eau quitte la roue

Problème du débit
Le débit est celui qui sort de "l'emprisonnement"
Il ne dépend que des facteurs suivants pour une largeur donnée :

La vitesse périphérique
Le diamètre
La hauteur des aubes

Le nombre d'aubes est peu influent  ; cependant l'épaisseur des aubes entraîne une diminution du volume utile de la couronne

On voit que la roue est un véritable compteur d'eau
Par une simple règle de 3 on adaptera la largeur au débit souhaité

La largeur doit rester compatible avec une réalisation mécanique satisfaisante
Nous avons tous les éléments pour calculer la roue  en faisant varier la hauteur d'admission ( plongée de la vanne) et vérifier  que certaines règles sont respectées
Il y a remarquer  qu'il faut agir  par tâtonnements dans le calcul  en fixant une vitesse d'arrivée de l'ordre de 1 m/s
Une roue  arrêtée  se comporte  comme une vanne totale , l'eau ne passe plus et V=0
une analyse plus fine  est  proposée en bas de page mais reste en cours d'étude

Difficultés de réglage
Si les conditions de fonctionnement ne sont pas satisfaisantes dans la partie 1
Vitesse de l'eau trop élevée :la roue est sur remplie , elle déborde intérieurement , l'eau perdue de cascade en cascade n'a aucun effet moteur

Vitesse trop faible : roue sous alimentée

La vanne plongeante a un effet immédiat sur le débit , par modification de la vitesse amont 

On remarquera le faible écartement des aubes et aussi la vanne  plongeante (en noir foncé) qui doit être relevée pour arrêter le passage de l'eau 

Enfin comme pour la plupart des roues  l'outil de calcul est disponible  dans mon logiciel ce qui donne pour l'exemple  choisi en début de page  la feuille de calculs  ci dessous

Pertes
Elles sont dues principalement
aux fuites , eau  ne passant pas dans  la roue
aux pertes cinétiques (perte le da vitesse relative + celle d'entraînement à la sortie)
soit pour ces pertes  (Vr^2 + Ve^2)/(2g)
ces vitesses  étant de l'ordre de 1 m/s  la perte en hauteur sera d'environ 1/g   soit 10 cm
et le rendement correspondant de 92% mais il faut ajouter les fuites et un peu de frottement

Ci après le tableau  de calcul obtenu pur cette roue avec le logiciel

Précisions sur la vitesse amont(complément d'étude non terminé)

Roue sans vanne plongeante

L'image est la même sauf que la vanne plongeante a été supprimée
Il ne reste plus que la vanne de tête pour isoler la roue

Si le canal qui alimente la roue a un débit constant et si la puissance fournie par la roue est elle même constante on peut en effet se passer de la vanne plongeante

Le col de cygne sera remplacé par un prolongement du coursier en maçonnerie
La hauteur du seuil doit  être calculée avec soin car la vitesse de l'eau amont en dépend
Sur notre dessin la hauteur du seuil est celle du niveau aval
C'est donc la totalité de la chute qui est "offerte" à la roue